Kinetik der Schleuder berechnet
Berechnung der Kraft, Geschwindigeit und Energie, kinetische Simuation
Berechnung einer Zwille (Schleuder) mit Flachgummi Bei einem Gummi konstanter Breite ist die Beschleunigung über die Gummilänge ungleichmässig. Der hintere Teil wird schneller entspannt als der vordere. Die Kontraktion des Gummis wird gleichmässig wenn die Masse des Gummis entlang der x-Achse (Auszug) linear abnimmt. Projektiltasche(pouch)+Projektil bilden einen Abschluss der Masseabnahme, die Breite des Gummis an dieser Stelle ist so gross, dass das imaginär weiter sich verjüngende Gummi bis zur Breite 0 die gleiche Masse wie Projektiltasche+Projektil hat. Am Ende Der Beschleunigung hat die Projektiltasche die gleiche Geschwindigkeit vmax wie die Kugel, und das Band eine Geschwindigkeitsverteilung von 0 an der Gabel bis zu vmax an der Projektiltasche. Bei gleichmässiger Masseverteilung gerade Bander also, Ergibt sich eine Energieverteilung entlang des Bandes
dE = dm·v²·1/2.
Die Gesamtenergie im Band ergibt sich dann zum Integral über alle dm also dm=k1·dx entlang von x also
Eb1 = INT{dx·k1·v²·1/2}dx
Eb1 = k1·l·m·v²·1/2
Bei linear abnehmender Masse am Band ergibt sich mit dm=dx·k1·(1-x/l) wirdEb2 = INT{dx·k1·(1-x/l)·v²/2}dx
Das Integral hiervon ist also Eb2 = k1·l·m·v²·1/4 ist also klar kleiner als Eb1. Wenn das Band die gleiche Energie gespeichert hat bleibt beim verjüngten Band also mehr Energie für die Kugel übrig, also ist diese schneller. Voraussetzung ist also wohl bemerkt konstante Energie des Bandes bei gleichem Auszug. Nur dann besteht ein Energievorteil. Hat das Band mit der Verjüngung einfach nur die gleiche Fläche also im gleichen Mass verbreitert auf der einen wie geschmälert auf der andern Seite, ist das nicht unbedingt gegeben. Das so verjüngte Band hat etwas weniger Energie, aber Bei hoher Gummimasse im Verhältnis zur Kugelmasse bleibt immernoch ein Vorteil.
Die Dichte von Latex betragt ca 964 Kg/m³ die Schallgeschwindigketi beträgt 1480 m/s (Messung durch Levi, Fritz und Howard, Helvetica Physica Acta) Das wäre also das Limit mit der sich auch die transversalen Wellen ausbreiten, oder mit der sich das Band transversal bewegen könnte.
Die Schallgeschwindigkeit ist für kleine Auslenkungen gemessen und es ist nicht klar ob das auf derart starke Amplituden der Auslenkung linear skaliert. Eine grobe Messung mit einer 1000 FPS Aufnahme von schmalen und langen Streifen aus Theraband zeigen da andere Grössenordnungen. Der Film ist per Software nochmal 25fach verlangsamt damit man die Einzelbilder gut sieht. Das parallel geschnittene Band kommt hier auf ca. 100 m/s, verjüngt auf ca 130 m/s.
Was bewirkt eine Bandverjüngung?
Die Erfahrung zeigt, dass eine Verjüngung des Bandes zur Projektiltasche hin eine höhere Anfangsgeschwindigkeit ergibt. Erklärungsversuche sind mehr oder weniger plausibel und anschaulich. Eine Simulation mit gnuplot zeigt den zeitlichen Verlauf der Bandkontraktion (von oben nach unten dargestellt). Das Band ist in diesem Modell hier mit 20 Quermarkierungen längs des Bandes versehen. Diese sind im Entspannten Zustand äquidistant. Die Kinetik der Kontraktion wird hier 8 mal Simuliert, jeweils mit zunehmender Verjüngung von links nach rechts. Das Band kontraktiert hier von oben nach unten im zeitlichen Verlauf.
Die Geschwindigkeit kann man in diesem Video aber nur erahnen. Wenn man zusätzlich die Geschwindigkeit der einzelnen Bänder über den Weg in ein Diagramm aufträgt sieht das Ergebnis eindeutig aus:
Die verjüngung des Bandes bringt auch in dieser Simulation einen Geschwindigleitsvorteil. In diesem Modell ist der o.g. angenäherte Kraftverlauf verwendet. Gegeben sind Bänder jeweild gleicher Masse, also vorne breiter werdend und hinten schmäler werdend, und das ganze bei gleichem Auszug. Nicht berücksichtigt ist in dieser Simulation der Luftwiderstand und die Auswirkung auf die Lebensdauer. Eine stärkere Verjüngung verkürzt erfahrungsgemäss die Lebensdauer. Dei Berücksichigung des Luftwiderstandes bringt zwar einen Fehler, das spielt aber keine Rolle bei der Aufklärung der Frage welche Wirkung die Bandverjüngung hat. Die Ergebnisse der Simulation sind ohnehin nur Normiert. Implementiert ist ein einfaches Einschrittverfahren. Das Band ist als Modell aus 20 Masse-Federteile gestaltet. Da die Kraftfunktion nichtlinear ist, ist alleine die Herstellung der Ausgangssituation nicht ganz einfach. Im statischen Zustand ist die Kraft entlang dem Band überall gleich, aber wie gross diese ist lässt sich nicht algebraisch bestimmen wenn die Breite sich ändert und erfordert auch eine Lösung mittels Differtialgleichung.
Bash/gnuplot Skriptpaket zur einfachen Berechnung